Gimanastyka umysłu.

[OTLamp]

To w sumie może najpierw nieco prostsze: (x^x)'=?

[szalony]

(X^X) *lnX + X^X ?

[OTLamp]

Tak

[TooL46_2]

Odp na pierwsze zadanko to dy/dx = x^(x^2)[2x lnx + x]?

[OTLamp]

Tak. Warto jednak pokazać, jak to było liczone

[TooL46_2]

Mamy y = x^(x^2). Logarytmujemy obie strony, czyli dostajemy lny = x^2 lnx
Teraz wyciagamy pochodna wzgledem x. Po lewej stronie uzywamy chain rule (jak to jest po polsku???), w sensie d/dy * dy/dx (lny). Po prawej stronie uzywamy product rule (znow...), czyli [f(x)*g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Dostajemy dy/dx*1/y = 2x lnx + x^2 *1/x, gdzie y = x^(x^2). Mnozymy obie strony przez y, czyli dostajemy dy/dx = x^(x^2) [2x lnx + x] Rozwiazane

[OTLamp]

Eee, można prościej. Wyrażenie x^(x^2) ma jak widać również zmienną w wykładniku, dlatego należy je przekształcić, aby zmienna była np. tylko w wykładniku. W tym celu można skorzystać z takiej tożsamości:

k = e^ln k
A więc analogicznie:
x^(x^2)= e^ln[x^(x^2)]

Następnie korzysta się własności logarytmu (skorzystałeś z niej od razu logarytmując u siebie obie strony równania):

ln(x^a) = a*lnx

a więc otrzymuje się:
ln[x^(x^2)] = x^2*lnx

Mamy więc ostatecznie:

d/dx x^(x^2) = d/dx e^(x^2*lnx)

i to już liczy się jako pochodną normalnej funkcji złożonej.

[OTLamp]

Wykazać, że wyrażenie z załącznika jest liczbą całkowitą i ją podać

[Thereminator]

Na moją głupią zagadkę z poprzedniej strony (o której sam już zapomniałem) nikt nie odpowiedział, więc sam odpowiem - cegła

[TooL46_2]

Wykazać, że wyrażenie z załącznika jest liczbą całkowitą i ją podać

Wyszlo mi cos takiego, jak w zalaczniku Moze troche nakomplikowalem, ale rozwiazanie jest poprawne wiec chyba sie nigdzie nie walnalem...

[OTLamp]

No wyszło dobrze, ale trzeba przyznać, że jesteś niekwestionowanym mistrzem komplikowania prostych rzeczy Analizując y, wystarczy zauważyć, że (2+sqrt5)(2-sqrt5)=-1. Wtedy od razu dostajesz y=-x. W zasadzie podczas normalnego liczenia to wychodzi samo po wymnożeniu pierwiastków, bez stosowania dodatkowych zmiennych (y). Można z tego zadania zrobić straszak dla jakichś maturzystów, wiedząc że ww. wyrażenie jest równe 1, można w zapisie tego wyrażenia dwójki zapisać np. jako 1+wyrażenie. Wtedy całe zadanie będzie miało odstraszającą postać, ale będzie banalne do rozwiązania.

[TooL46_2]

Analizując y, wystarczy zauważyć, że (2+sqrt5)(2-sqrt5)=-1.

Racja Na swoja obrone dodam, ze jednoczesnie przygotowywalem sie do spotkania z promotorem, wiec bylem w transie

[Tomasz Gumny]

Zadanie domowe syna:
Usunąć niewymierność z mianownika:

Jakieś pomysły? Ja się poddałem.

[KaKa]

Na jutro?

I w jakiej szkole (podstawowa/gim/średnia) jest syn?

[OTLamp]

Zadanie domowe syna:
Usunąć niewymierność z mianownika:

Jakieś pomysły? Ja się poddałem.

Z prawą częścią nie ma problemu, wystarczy licznik i mianownik wymnożyć przez pierwiastek trzeciego stopnia z 6^2, w wyniku czego otrzymuje się (wspomniany pierwiastek)/2.
Mianownik lewej części można "załatwić" korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

x^3+y^3= (x+y)(x^2-xy+y2)
z tego wynika, że:
x+y=(x^3+y^3)/(x^2-xy+y2)
a z kolei z tego wynika, że
1/(x+y)=(x^2-xy+y2)/(x^3+y^3)
x to nasz pierwiastek trzeciego stopnia z 6, a y to ten pierwiastek z 4. Po podstawieniu mamy w mianowniku (6+4).