Forum stowarzyszenia „Trioda” - nowy serwer

KaKa pisze:Ale ja bym chciał zobaczyć dowód matematyczny, że tak jest dla wszystkich abcd należących do liczb naturalnych .

Ale tak nie jest dla wszystkich, tylko dla tych, które podał ufoglonojad. Coś pomotałeś. Weź np. 2, 3, 4, 5, 6

tyle, ze x nie jest kolejna liczba do d, czyli x != d+1. Stanalem na rownaniu: x = sqrt(a^4+6a^3+11a^2+6a+1) --> dla takiego rownania, przy a = 2 (czyli b = 3, c = 4 i d = 5) otrzymujemy wartosc x = 11, czyli liczbe naturalna, jakby nie patrzec

Teraz tylko trzeba udowodnic, ze dla jakiejkolwiek a>0, dla powyzszego rownania, x zawsze bedzie liczba naturalna Sprobuje z domu

TooL46_2 pisze:tyle, ze x nie jest kolejna liczba do d, czyli x != d+1. Stanalem na rownaniu: x = sqrt(a^4+6a^3+11a^2+6a+1) --> dla takiego rownania, przy a = 2 (czyli b = 3, c = 4 i d = 5) otrzymujemy wartosc x = 11, czyli liczbe naturalna, jakby nie patrzec

Właśnie obudziłem się z rozwiązaniem a^4+6a^3+11a^2+6a+1 jest wielomianem 4 stopnia, wiec jego pierwiastek kwadratowy będzie funkcją kwadratową, którą w postaci ogólnej można zapisać następująco: pa^2+qa+r, i która będzie oczywiście równa x. Na tej podstawie można napisać:
a^4+6a^3+11a^2+6a+1 = (pa^2+qa+r)^2

Po rozwinięciu prawej strony otrzymuje się:
p^2a^4+2pqa^3+(2pr+q^2)a^2+2qra+r^2

Następnie porównując współczynniki wielomianów po prawej i lewej stronie otrzymuje się układ 5 równań z 3 niewiadomymi, dający 2 trójki możliwych rozwiązań, ale po uwzględnieniu, że x=pa^2+qa+r jest również liczbą naturalną, czyli nieujemną, pozostaje jedna trójka:
p=1, q=3, r=1

Zatem:

a^4+6a^3+11a^2+6a+1=(a^2+3a+1)^2

A wiec wracając do zapisu iloczynu 4 kolejnych liczb naturalnych:

a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3a+1)^2

Waldemar D.
Dwuletnie bliźniaki i dziewięcioletni Janek?

TooL46_2 pisze: Teraz tylko trzeba udowodnic, ze dla jakiejkolwiek a>0, dla powyzszego rownania, x zawsze bedzie liczba naturalna Sprobuje z domu

Nie będzie zawsze naturalną, gdyż dla jakiegokolwiek a>0 istnieją też liczby nienaturalne spełniające to równanie - liczby całkowite, ujemne. Np. dla a=2 otrzymujesz x^2=121, zatem masz parę x=11 lub x=-11. Dlatego to, że x jest liczbą naturalną jest od razu założeniem tego zadania, pozwalającym odrzucić to jedno rozwiązanie. W tym zadaniu więc należało udowodnić, że iloczyn kolejnych dowolnych czterech liczb naturalnych ma zawsze pierwiastek 2 stopnia, który jest liczbą całkowitą.

Teslacoil: Tak! Pytanie o dodatkową informację podpowiada, że matematyk uzyskał więcej niż jedną kombinację trzech liczb o sumie 13 i takim samym iloczynie. Informacja o starszym Janku pozwoliła mu odrzucić kombinację z dwoma starszymi bliźniakami (1+6+6), która też daje iloczyn 36...

OTLamp pisze:Nie będzie zawsze naturalną

Racja! To 'zawsze' w mojej wypowiedzi nie bylo konieczne

Waldemar D.
Właśnie nakierowało mnie to: gość policzył okna i jeszcze było mało danych? Rozpisałem więc wszystkie możliwe kombinacje i wyszło.
Fajna zagadka. Pochwalę się, że żaden z dużo tęższych umysłów ode mnie nie poradził sobie, a zaprzęgali przeróżne wzory, ciągi i inne permutacje...A ja już 12 lat w szkole nie byłem i królową nauk znam od niezbędnej do życia strony już tylko...i dałem radę .
Pozdrawiam.

Ktos sie podejmie zadania z kulkami czy to za proste?

No właśnie ja w wolnym czasie kombinuję, ale na razie bez skutku.

Ok To dzialaj i powodzenia Moi znajomi sie na tym wylozyli ale w forumowiczow wierze!

OTLamp Pozwoliłem sobie zapisać to co wymyśliłeś. Jedna rzecz mi się nie podoba. No bo kto powiedział, że x jest miejscem zerowym tego wielomianu?
Gratuluje, bo przynajmniej chciało Ci się zmierzyć z problemem . Swoja drogą ciekawy pomysł miałeś.

Pozwalam sobie załączyć ideę mojego rozwiązania. Podobno istnieje jeszcze ładniejszy sposób żeby to udowodnić

KaKa pisze:OTLamp Pozwoliłem sobie zapisać to co wymyśliłeś. Jedna rzecz mi się nie podoba. No bo kto powiedział, że x jest miejscem zerowym tego wielomianu?

Nikt, ja przecież też nigdzie tego nie napisałem*. x jest pierwiastkiem kwadratowym z tego wielomianu i został on wyliczony - jest wielomianem drugiego stopnia (funkcją kwadratową) pierwszej liczby naturalnej (a) z iloczynu, czyli jest również liczbą naturalną (bo podnoszenie do kwadratu liczb naturalnych, sumowanie liczb naturalnych i dodawanie do nich liczb całkowitych dodatnich zawsze daje w wyniku liczbę naturalną).

*Miejsca zerowe tego wielomianu są liczbami niewymiernymi. Pisząc "pierwiastek" miałem na myśli pierwiastek arytmetyczny, w szczególności kwadratowy (zerknij na post TooL46_2 nad moim i równanie, na którym stanął), w żadnym wypadku nie chodziło o miejsce zerowe (nie miałoby to sensu).

Z kulkami to niezły zgryz...
Dzielę na trzy czwórki. Ważę pierwsze dwie, jak równowaga, to wiadomo – bubel jest w trzeciej. Zostawiam trzy na jednej szalce, dokładam trzy z trzeciej czwórki. Równowaga - czyli bubel to ta pozostała z trzeciej. Porównuję z jakąkolwiek i wiem czy cięższa czy lżejsza.
Jeśli za drugim razem wyjdzie nierównowaga to już wiem jaki bubel jest. Ważę dwie z podejrzanej trójki, jak równe, to zła ta nie zważona z trzeciej, jak nierówne to też – wiadomo po kierunku wychyłu z drugiego ważenia.
Jak pierwsze dwie czwórki wyjdą „krzywo”, to wiem, że trzecia jest o.k., zapamiętuję kierunek wychyłu. Na lewej szalce zostawiam jedną, dokładam trzy z drugiej czwórki. Na prawej trzy z trzeciej wraz z pozostałą z drugiej. Równowaga – bubel jest w trzech odrzuconych z pierwszej czwórki. Dalej podobnie jak poprzednio, tylko posługuję się kierunkiem wychyłu z pierwszego ważenia. Jeśli za drugim razem też krzywo, to bublem jest albo ta jedna z pierwszej czwórki pozostawiona na lewej szalce, albo ta jedna z drugiej czwórki dokoptowana do trzech z trzeciej na prawej szalce. Porównuję tą podejrzaną z lewej szalki z „pewniakiem” (np. któraś z trzeciej czwórki). Jak krzywo – wiadomo. Jak równo, to bublem jest ta „dokoptowana”.
Dobre dwa tygodnie ślęczałem w wolnych chwilach .

Następny jeszcze lepszy zgryz, to zrozumieć to co napisałem...spróbuje ktoś?

Kulki sa niezle Ale do zrobienia (czego jestem przykladem). Inaczej bym nie zadawal

Moglbys jakos punktowo rozpisac? Wydaje mi sie, ze dobrze kombinujesz, ale ciezko rzeczywiscie zrozumiec... A tymczasem -- I'm off for kayaking