Forum stowarzyszenia „Trioda” - nowy serwer

To w sumie może najpierw nieco prostsze: (x^x)'=?

(X^X) *lnX + X^X ?

Tak

Odp na pierwsze zadanko to dy/dx = x^(x^2)[2x lnx + x]?

Tak. Warto jednak pokazać, jak to było liczone

Mamy y = x^(x^2). Logarytmujemy obie strony, czyli dostajemy lny = x^2 lnx
Teraz wyciagamy pochodna wzgledem x. Po lewej stronie uzywamy chain rule (jak to jest po polsku???), w sensie d/dy * dy/dx (lny). Po prawej stronie uzywamy product rule (znow...), czyli [f(x)*g(x)]' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Dostajemy dy/dx*1/y = 2x lnx + x^2 *1/x, gdzie y = x^(x^2). Mnozymy obie strony przez y, czyli dostajemy dy/dx = x^(x^2) [2x lnx + x] Rozwiazane

Eee, można prościej. Wyrażenie x^(x^2) ma jak widać również zmienną w wykładniku, dlatego należy je przekształcić, aby zmienna była np. tylko w wykładniku. W tym celu można skorzystać z takiej tożsamości:

k = e^ln k
A więc analogicznie:
x^(x^2)= e^ln[x^(x^2)]

Następnie korzysta się własności logarytmu (skorzystałeś z niej od razu logarytmując u siebie obie strony równania):

ln(x^a) = a*lnx

a więc otrzymuje się:
ln[x^(x^2)] = x^2*lnx

Mamy więc ostatecznie:

d/dx x^(x^2) = d/dx e^(x^2*lnx)

i to już liczy się jako pochodną normalnej funkcji złożonej.

Wykazać, że wyrażenie z załącznika jest liczbą całkowitą i ją podać

Na moją głupią zagadkę z poprzedniej strony (o której sam już zapomniałem) nikt nie odpowiedział, więc sam odpowiem - cegła

OTLamp pisze:Wykazać, że wyrażenie z załącznika jest liczbą całkowitą i ją podać

Wyszlo mi cos takiego, jak w zalaczniku Moze troche nakomplikowalem, ale rozwiazanie jest poprawne wiec chyba sie nigdzie nie walnalem...

No wyszło dobrze, ale trzeba przyznać, że jesteś niekwestionowanym mistrzem komplikowania prostych rzeczy Analizując y, wystarczy zauważyć, że (2+sqrt5)(2-sqrt5)=-1. Wtedy od razu dostajesz y=-x. W zasadzie podczas normalnego liczenia to wychodzi samo po wymnożeniu pierwiastków, bez stosowania dodatkowych zmiennych (y). Można z tego zadania zrobić straszak dla jakichś maturzystów, wiedząc że ww. wyrażenie jest równe 1, można w zapisie tego wyrażenia dwójki zapisać np. jako 1+wyrażenie. Wtedy całe zadanie będzie miało odstraszającą postać, ale będzie banalne do rozwiązania.

OTLamp pisze:Analizując y, wystarczy zauważyć, że (2+sqrt5)(2-sqrt5)=-1.

Racja Na swoja obrone dodam, ze jednoczesnie przygotowywalem sie do spotkania z promotorem, wiec bylem w transie

Zadanie domowe syna:
Usunąć niewymierność z mianownika:

Jakieś pomysły? Ja się poddałem.

Na jutro?

I w jakiej szkole (podstawowa/gim/średnia) jest syn?

Tomasz Gumny pisze:Zadanie domowe syna:
Usunąć niewymierność z mianownika:

Jakieś pomysły? Ja się poddałem.

Z prawą częścią nie ma problemu, wystarczy licznik i mianownik wymnożyć przez pierwiastek trzeciego stopnia z 6^2, w wyniku czego otrzymuje się (wspomniany pierwiastek)/2.
Mianownik lewej części można "załatwić" korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów:

x^3+y^3= (x+y)(x^2-xy+y2)
z tego wynika, że:
x+y=(x^3+y^3)/(x^2-xy+y2)
a z kolei z tego wynika, że
1/(x+y)=(x^2-xy+y2)/(x^3+y^3)
x to nasz pierwiastek trzeciego stopnia z 6, a y to ten pierwiastek z 4. Po podstawieniu mamy w mianowniku (6+4).