Gimanastyka umysłu.

[OTLamp]

Ale ja bym chciał zobaczyć dowód matematyczny, że tak jest dla wszystkich abcd należących do liczb naturalnych .

Ale tak nie jest dla wszystkich, tylko dla tych, które podał ufoglonojad. Coś pomotałeś. Weź np. 2, 3, 4, 5, 6

[TooL46_2]

tyle, ze x nie jest kolejna liczba do d, czyli x != d+1. Stanalem na rownaniu: x = sqrt(a^4+6a^3+11a^2+6a+1) --> dla takiego rownania, przy a = 2 (czyli b = 3, c = 4 i d = 5) otrzymujemy wartosc x = 11, czyli liczbe naturalna, jakby nie patrzec

Teraz tylko trzeba udowodnic, ze dla jakiejkolwiek a>0, dla powyzszego rownania, x zawsze bedzie liczba naturalna Sprobuje z domu

[OTLamp]

tyle, ze x nie jest kolejna liczba do d, czyli x != d+1. Stanalem na rownaniu: x = sqrt(a^4+6a^3+11a^2+6a+1) --> dla takiego rownania, przy a = 2 (czyli b = 3, c = 4 i d = 5) otrzymujemy wartosc x = 11, czyli liczbe naturalna, jakby nie patrzec

Właśnie obudziłem się z rozwiązaniem a^4+6a^3+11a^2+6a+1 jest wielomianem 4 stopnia, wiec jego pierwiastek kwadratowy będzie funkcją kwadratową, którą w postaci ogólnej można zapisać następująco: pa^2+qa+r, i która będzie oczywiście równa x. Na tej podstawie można napisać:
a^4+6a^3+11a^2+6a+1 = (pa^2+qa+r)^2

Po rozwinięciu prawej strony otrzymuje się:
p^2a^4+2pqa^3+(2pr+q^2)a^2+2qra+r^2

Następnie porównując współczynniki wielomianów po prawej i lewej stronie otrzymuje się układ 5 równań z 3 niewiadomymi, dający 2 trójki możliwych rozwiązań, ale po uwzględnieniu, że x=pa^2+qa+r jest również liczbą naturalną, czyli nieujemną, pozostaje jedna trójka:
p=1, q=3, r=1

Zatem:

a^4+6a^3+11a^2+6a+1=(a^2+3a+1)^2

A wiec wracając do zapisu iloczynu 4 kolejnych liczb naturalnych:

a(a+1)(a+2)(a+3)=(a^2+3a+1)^2

[Teslacoil]

Waldemar D.
Dwuletnie bliźniaki i dziewięcioletni Janek?

[OTLamp]

Teraz tylko trzeba udowodnic, ze dla jakiejkolwiek a>0, dla powyzszego rownania, x zawsze bedzie liczba naturalna Sprobuje z domu

Nie będzie zawsze naturalną, gdyż dla jakiegokolwiek a>0 istnieją też liczby nienaturalne spełniające to równanie - liczby całkowite, ujemne. Np. dla a=2 otrzymujesz x^2=121, zatem masz parę x=11 lub x=-11. Dlatego to, że x jest liczbą naturalną jest od razu założeniem tego zadania, pozwalającym odrzucić to jedno rozwiązanie. W tym zadaniu więc należało udowodnić, że iloczyn kolejnych dowolnych czterech liczb naturalnych ma zawsze pierwiastek 2 stopnia, który jest liczbą całkowitą.

[Waldemar D.]

Teslacoil: Tak! Pytanie o dodatkową informację podpowiada, że matematyk uzyskał więcej niż jedną kombinację trzech liczb o sumie 13 i takim samym iloczynie. Informacja o starszym Janku pozwoliła mu odrzucić kombinację z dwoma starszymi bliźniakami (1+6+6), która też daje iloczyn 36...

[TooL46_2]

Nie będzie zawsze naturalną

Racja! To 'zawsze' w mojej wypowiedzi nie bylo konieczne

[Teslacoil]

Waldemar D.
Właśnie nakierowało mnie to: gość policzył okna i jeszcze było mało danych? Rozpisałem więc wszystkie możliwe kombinacje i wyszło.
Fajna zagadka. Pochwalę się, że żaden z dużo tęższych umysłów ode mnie nie poradził sobie, a zaprzęgali przeróżne wzory, ciągi i inne permutacje...A ja już 12 lat w szkole nie byłem i królową nauk znam od niezbędnej do życia strony już tylko...i dałem radę .
Pozdrawiam.

[TooL46_2]

Ktos sie podejmie zadania z kulkami czy to za proste?

[KaKa]

No właśnie ja w wolnym czasie kombinuję, ale na razie bez skutku.

[TooL46_2]

Ok To dzialaj i powodzenia Moi znajomi sie na tym wylozyli ale w forumowiczow wierze!

[KaKa]

OTLamp Pozwoliłem sobie zapisać to co wymyśliłeś. Jedna rzecz mi się nie podoba. No bo kto powiedział, że x jest miejscem zerowym tego wielomianu?
Gratuluje, bo przynajmniej chciało Ci się zmierzyć z problemem . Swoja drogą ciekawy pomysł miałeś.

Pozwalam sobie załączyć ideę mojego rozwiązania. Podobno istnieje jeszcze ładniejszy sposób żeby to udowodnić

[OTLamp]

OTLamp Pozwoliłem sobie zapisać to co wymyśliłeś. Jedna rzecz mi się nie podoba. No bo kto powiedział, że x jest miejscem zerowym tego wielomianu?

Nikt, ja przecież też nigdzie tego nie napisałem*. x jest pierwiastkiem kwadratowym z tego wielomianu i został on wyliczony - jest wielomianem drugiego stopnia (funkcją kwadratową) pierwszej liczby naturalnej (a) z iloczynu, czyli jest również liczbą naturalną (bo podnoszenie do kwadratu liczb naturalnych, sumowanie liczb naturalnych i dodawanie do nich liczb całkowitych dodatnich zawsze daje w wyniku liczbę naturalną).

*Miejsca zerowe tego wielomianu są liczbami niewymiernymi. Pisząc "pierwiastek" miałem na myśli pierwiastek arytmetyczny, w szczególności kwadratowy (zerknij na post TooL46_2 nad moim i równanie, na którym stanął), w żadnym wypadku nie chodziło o miejsce zerowe (nie miałoby to sensu).

[Teslacoil]

Z kulkami to niezły zgryz...
Dzielę na trzy czwórki. Ważę pierwsze dwie, jak równowaga, to wiadomo – bubel jest w trzeciej. Zostawiam trzy na jednej szalce, dokładam trzy z trzeciej czwórki. Równowaga - czyli bubel to ta pozostała z trzeciej. Porównuję z jakąkolwiek i wiem czy cięższa czy lżejsza.
Jeśli za drugim razem wyjdzie nierównowaga to już wiem jaki bubel jest. Ważę dwie z podejrzanej trójki, jak równe, to zła ta nie zważona z trzeciej, jak nierówne to też – wiadomo po kierunku wychyłu z drugiego ważenia.
Jak pierwsze dwie czwórki wyjdą „krzywo”, to wiem, że trzecia jest o.k., zapamiętuję kierunek wychyłu. Na lewej szalce zostawiam jedną, dokładam trzy z drugiej czwórki. Na prawej trzy z trzeciej wraz z pozostałą z drugiej. Równowaga – bubel jest w trzech odrzuconych z pierwszej czwórki. Dalej podobnie jak poprzednio, tylko posługuję się kierunkiem wychyłu z pierwszego ważenia. Jeśli za drugim razem też krzywo, to bublem jest albo ta jedna z pierwszej czwórki pozostawiona na lewej szalce, albo ta jedna z drugiej czwórki dokoptowana do trzech z trzeciej na prawej szalce. Porównuję tą podejrzaną z lewej szalki z „pewniakiem” (np. któraś z trzeciej czwórki). Jak krzywo – wiadomo. Jak równo, to bublem jest ta „dokoptowana”.
Dobre dwa tygodnie ślęczałem w wolnych chwilach .

Następny jeszcze lepszy zgryz, to zrozumieć to co napisałem...spróbuje ktoś?

[TooL46_2]

Kulki sa niezle Ale do zrobienia (czego jestem przykladem). Inaczej bym nie zadawal

Moglbys jakos punktowo rozpisac? Wydaje mi sie, ze dobrze kombinujesz, ale ciezko rzeczywiscie zrozumiec... A tymczasem -- I'm off for kayaking